6.3 Körper

Definition: Eine nichtleere Menge K mit zwei inneren Verknüpfungen + und * heißt Körper (engl. field), wenn gilt :

K1 (K,+) ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element 0 (Null)

K2 (K \ 0,*) ist eine Gruppe

K3 Es gilt das Distributivgesetz

 (a + b) * c  =  a * c  +  b * c     a,b,c  K    

 a * (b + c)  =  a * b  +  a * c     a,b,c  K    

Falls die Gruppe (K \ 0,*) abelsch ist, so liegt ein kommutativer Körper vor.

Ein Beispiel für einen kommutativen Körper ist die Menge der reellen Zahlen mit den inneren Verknüpfungen Addition und Multiplikation. Endliche Körper wurden erstmals von Galois behandelt und werden deshalb mit GF(n) bezeichnet, wo n die Anzahl der Elemente der Menge ist. Die Elemente werden üblicherweise mit 0 , 1, ... , n-1 bezeichnet. Alle Körper mit n Elementen sind isomorph. Nur für n = p^k , wo p eine Primzahl und k eine natürliche Zahl ist, ist die Erfüllung von K1, K2, K3 möglich.

Für die Technische Informatik besonders wichtig ist der endliche Körper GF(2) mit den Elementen {0,1} und den inneren Verknüpfungen

               x                x          
           + | 0 1          * | 0 1        
          ---|-----        ---|-----       
       y   0 | 0 1      y   0 | 0 0        
           1 | 1 0          1 | 0 1        

In der Codierungstheorie werden auch andere endliche Körper benötigt, insbesondere GF(2^k). Ohne auf ihre Konstruktion durch Polynome einzugehen, geben wir hier sämtliche endlichen Körper GF(p^k) an durch

gftabellen(2)   % Primzahl 2

gftabellen(3)   % Primzahl 3

gftabellen(4)   % Primzahlpotenz 4 = 2^2

usw.

Auch hier kann man die Gültigkeit der Körperaxiome automatisch überprüfen.
Wir beschränken uns auf die Prüfung von K1 und K2:

n = 9; 
[a,m]=gftabellen(n); 
isgru(a)
isgru(m(2:end,2:end)-1)